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Setting up the environment


이 포스트에서는 예제를 실습하기 위해 R을 사용한다. 


suppressMessages(library(tidyverse))
suppressMessages(library(repr))
suppressMessages(library(randomForest))
suppressMessages(library(caret))
suppressMessages(library(cowplot))
suppressMessages(library(Metrics))
suppressMessages(library(AUC))

set.seed(123)
options(repr.plot.width=7, repr.plot.height=3)


Experiments

  • 표본 공간 $\Omega$ : 실험의 가능한 결과물 집합
  • 사건 $E$ : 표본공간 $\Omega$의 부분집합
  • 단순 사건 $\omega$ : 실험에서 하나의 특정 결과
  • $\emptyset$ : 공집합
  • $\omega \in E$ : $\omega$가 발생했을 때 $E$가 발생
  • $\omega \notin E$ : $\omega$가 발생했을 때 $E$가 발생하지 않음
  • $E \subset F$ : $E$ 가 $F$의 부분집합
  • $E \cap F$ : $E$ 와 $F$ 동시에 발생하는 사건 R function: E & F
  • $E \cup F$ : $E$ 또는 $F$ 가 발생하는 사건 R function: E | F
  • $E^C$ or $\bar{E}$ : $E$ 여사건 (사건 $E$ 발생하지 않음) R function: !E
  • $E$ \ $F=E \cap F^C$ : $E$ 는 발생하고 $F$ 는 발생하지 않는 사건

    R을 이용하여 동전던지기 예제를 풀어보자.

지금부터 평범한 동전을 가지고 있고 앞면이 나올 확률이 0.5인 이항분포를 따른다고 가정하자.

이항분포 정의 :

A binomial experiment is a statistical experiment that has the following properties: The experiment consists of n repeated trials. Each trial can result in just two possible outcomes. We call one of these outcomes a success and the other, a failure. The probability of success, denoted by P, is the same on every trial.

#동전 10개에 대한 2개의 표본공간을 만들고 각각을 한번씩 던진다. 사건 E = 1 은 앞면이 나올 확률 0.5를 가지고 있다.

Exp_A  <- rbinom(10, 1, .5)
Exp_B  <- rbinom(10, 1, .5)

print(paste0("표본공간 A: ", list(Exp_A)))
print(paste0("표본공간 B: ", list(Exp_B)))
cat("\n")
print(paste0("표본 A에 대한 E의 여사건 (뒷면): ", list(!Exp_A)))
print(paste0("표본 B에 대한 E의 여사건 (뒷면): ", list(!Exp_B)))
cat("\n")
print(paste0("표본 A와 B에서 전부 앞면이 나오는 경우: ",
list(Exp_A & Exp_B)))
print(paste0("표본 A 또는 B에서 앞면이 나오는 경우: ",
list(Exp_A | Exp_B)))
cat("\n")
print(paste0("표본 A에서 앞면이 나오고 표본 B에서 뒷면이 나오는 경우: ",
list(Exp_A & !Exp_B)))


Probability

Probability 은 사건이 발생할 가능성이다.

print(paste0("A 와 B 모두 앞면이 나올 확률 : ",
round(mean(Exp_A & Exp_B), 3)))
print(paste0("A 또는 B 가 앞면이 나올 확률 : ",
round(mean(Exp_A | Exp_B), 3)))
print(paste0("A 가 앞면이 나오고 B가 뒷면이 나올 확률 : ",
round(mean(Exp_A & !(Exp_B)), 3)))


확률 변수 (random variable)

확률 변수 는 무작위 실험의 결과를 나타내는 수치이다. 여기서는 이산적 이거나 연속적 확률 변수에 대해 다룰 것이다.

  • 이산 확률 변수 (discrete random variable) 는 확률 변수 X가 취할 수 있는 모든 값을 x1, x2, x3, … 처럼 셀 수 있을 때 X를 이산 확률 변수라고 한다.
  • 연속 확률 변수 (continuous random variable) 는 적절한 구간 내의 모든 값을 취하는 확률 변수이다.

    확률 질량 함수 (probability mass function, pmf)

확률 질량 함수 (pmf) 는 이산 확률 변수 X가 취할 수 있는 값 x1, x2, x3, … 의 각각에 대해서 확률 P(X=x1), P(X=x2), P(X=x3), … 을 대응시켜주는 관계이다.

동전던지기의 pmf : $p(x)=\theta^x(1 - \theta)^{1-x}$,

$\theta$ 은 1 (앞면) 이 나올 확률이고, $x$ 는 1(앞면) 또는 0 (뒷면) 을 입력으로 받는다.

동전던지기의 pmf를 다시써보면 다음과 같다. $p(x)=(\frac{1}{2})^x(\frac{1}{2})^{1-x}$.

유효한 pmf를 갖기 위해서, 함수 $p(x)$ 는 반드시 다음을 만족해야 한다.

  • $p(k) \geqslant 0$ for all $k \in K$, where $K$ is the set of all possible outcomes for $X$;
  • $\sum_{k\in{K}} p(k) = 1$.

    확률 밀도 함수 (probability density function, pdf)

Probability Density Function is a function of a continuous random variable, whose integral across an interval gives the probability that the value of the variable lies within the same interval.

$f(x)=\frac{x^4}{3}$, for $x \in (0;2)$ 라는 분포가 있다고 가정하자.

유효한 pdf를 갖기 위해서, 함수 $f(x)$ 는 반드시 다음을 만족해야 한다.

  • $f(x) \geqslant 0$ for all $x$;
  • $\int\limits_{-\infty}^\infty f(x) \,dx = 1$.

    독립 사건

$P(E \cap F)=P(E)P(F)$ 를 만족하는 $E$ 와 $F$ 는 서로 독립이다.

This post has been released under the Apache 2.0 open source license.